L'essentiel en une page
| Suite | Terme général | Limite |
|---|---|---|
| Arithmétique | \(u_0 + nr\) | \(\pm\infty\) selon le signe de \(r\) |
| Géométrique | \(u_0q^n\) | selon \(\lvert q\rvert\) |
| Arithmético-géométrique | via \(v_n = u_n - \ell\) | celle de \((v_n)\) plus \(\ell\) |
Limite d'une suite géométrique : \(0\) si \(\lvert q\rvert<1\) ; \(u_0\) si \(q=1\) ; infinie si \(q>1\) ; pas de limite si \(q\le-1\).
| Théorème | Énoncé |
|---|---|
| Convergence monotone | croissante et majorée \(\Rightarrow\) converge |
| Gendarmes | \(v_n \le u_n \le w_n\) avec la même limite |
| Comparaison | \(u_n \ge v_n \to +\infty \Rightarrow u_n \to +\infty\) |
Point fixe : si \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell\) et si \(f\) est continue, alors \(\ell = f(\ell)\).
Méthode type : encadrement par récurrence, puis monotonie, puis conclusion par le théorème de convergence monotone.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer une limite de suite (quotient, puissance).
- Montrer un encadrement par récurrence.
- Étudier la monotonie.
- Utiliser une suite auxiliaire géométrique.
- Conclure sur la convergence et déterminer la limite.
Les pièges à éviter
- Croissante et majorée : les deux conditions sont nécessaires.
- \(\left(\frac23\right)^n \to 0\), mais \(\left(\frac32\right)^n \to +\infty\).
- Une suite peut converger sans être monotone.
- Le point fixe donne la limite, mais il faut d'abord prouver la convergence.
Testez-vous en 3 minutes
\(\lim\left(\frac15\right)^n\) ? \(\lim\frac{2n+1}{n}\) ? Une suite croissante et majorée… ? Point fixe de \(f(x)=\frac{x+6}{2}\) ?
Réponses
\(0\) ; \(2\) ; converge ; \(\ell = 6\).