Exercice 1
Calculer les limites : \(u_n = \frac{n^2 + 1}{3n^2 - n}\), \(v_n = \frac{3^n}{4^n}\), \(w_n = n - \sqrt{n}\).
Correction
\(\frac13\). \(\left(\frac34\right)^n\to0\). \(\sqrt n(\sqrt n - 1)\to+\infty\).
Exercice 2
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1\).
- Montrer que \(u_n < 2\) pour tout \(n\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante. Conclure.
- Calculer \(u_n\) avec \(v_n = u_n - 2\).
Correction
- \(u_0 = 1 < 2\) ; si \(u_n < 2\), \(u_{n+1} < 2\).
- \(u_{n+1} - u_n = 1 - \frac12u_n > 0\) : croissante, majorée, donc convergente.
- \(v_{n+1} = \frac12v_n\), \(v_0 = -1\) : \(u_n = 2 - \left(\frac12\right)^n\to2\).
Exercice 3
Soit \(u_n = \frac{\cos n}{n + 1}\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(0\).
Correction
\(-\frac{1}{n + 1}\le u_n\le\frac{1}{n + 1}\) et les deux bornes tendent vers \(0\).
Exercice 4
Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}\). Montrer que \(u_n = 3\) pour tout \(n\). Qu'en est-il si \(u_0 = 1\) ?
Correction
Si \(u_n = 3\), \(u_{n+1} = \sqrt9 = 3\). Pour \(u_0 = 1\) : on montre \(1\le u_n < 3\), \((u_n)\) croissante, donc convergente vers \(\ell = \sqrt{\ell + 6}\), soit \(\ell = 3\).