Suites numériques — Examen (1 h 30) — 2ème année Bac Sciences Physiques & SVT

Durée : 1 h 30. Barème sur 20.

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \frac{5u_n - 4}{u_n + 1}\).

Montrer par récurrence que \(u_n > 2\) pour tout \(n\). (4 pts)
Montrer que \(u_{n+1} - u_n = -\frac{(u_n - 2)^2}{u_n + 1}\) et en déduire la monotonie de \((u_n)\). (4 pts)
En déduire que \((u_n)\) est convergente. (2 pts)
On pose \(v_n = \frac{1}{u_n - 2}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(\frac13\). (5 pts)
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim u_n\). (5 pts)

Correction

\(u_0 = 3 > 2\). \(u_{n+1} - 2 = \frac{3u_n - 6}{u_n + 1} = \frac{3(u_n - 2)}{u_n + 1} > 0\) si \(u_n > 2\).
\(u_{n+1} - u_n = \frac{5u_n - 4 - u_n^2 - u_n}{u_n + 1} = -\frac{(u_n - 2)^2}{u_n + 1} < 0\) : décroissante.
Décroissante et minorée par \(2\) : convergente.
\(v_{n+1} = \frac{u_n + 1}{3(u_n - 2)} = \frac{(u_n - 2) + 3}{3(u_n - 2)} = \frac13 + v_n\).
\(v_0 = 1\), \(v_n = 1 + \frac{n}{3} = \frac{n + 3}{3}\), donc \(u_n = 2 + \frac{3}{n + 3}\to2\).