1. Rappels
- Arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\), somme \(= \text{nombre de termes}\times\frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\).
- Géométrique : \(u_n = u_0q^n\), somme \(= \text{premier}\times\frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\).
2. Limites de suites
- \(\lim n^\alpha = +\infty\) (\(\alpha > 0\)), \(\lim\frac{1}{n^\alpha} = 0\), \(\lim\sqrt{n} = +\infty\).
- \(\lim q^n = 0\) si \(|q| < 1\) ; \(+\infty\) si \(q > 1\) ; \(1\) si \(q = 1\) ; pas de limite si \(q\le-1\).
3. Critères de convergence
Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge.
- Comparaison : si \(u_n\ge v_n\) et \(v_n\to+\infty\), alors \(u_n\to+\infty\).
- Encadrement : si \(v_n\le u_n\le w_n\) avec \(v_n, w_n\to\ell\), alors \(u_n\to\ell\).
4. Suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_n)\)
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) tel que \(f(I)\subset I\), \(u_0\in I\) et \((u_n)\) converge vers \(\ell\in I\), alors \(f(\ell) = \ell\).
5. Méthode type
- Montrer par récurrence que \(u_n\) reste dans un intervalle.
- Étudier la monotonie (\(u_{n+1} - u_n\)).
- Conclure à la convergence et calculer la limite avec \(f(\ell) = \ell\).
- Souvent, une suite auxiliaire \(v_n\) géométrique permet d'obtenir \(u_n\) explicitement.