1. Dérivabilité
\(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)\in\mathbb{R}\). La tangente a pour équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Si la limite est infinie, la courbe admet une tangente (ou demi-tangente) verticale.
2. Dérivées
\[(v\circ u)' = u'\times v'\circ u \qquad (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \qquad (u^n)' = nu'u^{n-1} \qquad (\sqrt[n]{u})' = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}\]
Dérivée de la réciproque : \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\) si \(f'(f^{-1}(y))\neq0\).
3. Applications
- Signe de \(f'\) et variations ; extremums.
- Concavité : \(f'' > 0\) convexe, \(f'' < 0\) concave ; point d'inflexion quand \(f''\) s'annule en changeant de signe.
- Branches infinies : asymptotes verticale, horizontale, oblique ; branches paraboliques (étude de \(\frac{f(x)}{x}\)).
- Symétries : axe \(x = a\) si \(f(2a - x) = f(x)\) ; centre \(\Omega(a ; b)\) si \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
4. Plan d'étude
Domaine, limites, dérivée et variations, branches infinies, concavité, points remarquables, tracé.
Exemple
\(f(x) = \frac{x^2}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}\) : asymptotes \(x = 1\) et \(y = x + 1\) ; \(f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\).