Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\) sur \([0 ; +\infty[\).
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\), puis interpréter. (4 pts)
- Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter. (3 pts)
- Calculer \(f'(x)\) pour \(x > 0\) et dresser le tableau de variation. (4 pts)
- Étudier la concavité de \((C_f)\). (3 pts)
- Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) avec l'axe des abscisses. (3 pts)
- Montrer que la restriction de \(f\) à \([1 ; +\infty[\) admet une réciproque \(g\) et déterminer \(g(x)\). (3 pts)
Correction
- \(f(x) = \sqrt x(\sqrt x - 2)\to+\infty\). \(\frac{f(x)}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt x}\to1\) ; \(f(x) - x = -2\sqrt x\to-\infty\) : branche parabolique de direction \(y = x\).
- \(\frac{f(x)}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt x}\to-\infty\) : demi-tangente verticale en \(O\).
- \(f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{\sqrt x}\) : décroissante sur \([0 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\), minimum \(f(1) = -1\).
- \(f''(x) = \frac{1}{2x\sqrt x} > 0\) : convexe.
- \(\sqrt x(\sqrt x - 2) = 0\) : \(x = 0\) ou \(x = 4\).
- Continue strictement croissante de \([1 ; +\infty[\) sur \([-1 ; +\infty[\). \(f(x) = (\sqrt x - 1)^2 - 1 = y\) avec \(\sqrt x\ge1\) : \(\sqrt x = 1 + \sqrt{y + 1}\), \(g(x) = (1 + \sqrt{x + 1})^2\).