Exercice 1
Étudier la dérivabilité de \(f(x) = \sqrt{1 - x}\) en \(1\) à gauche et interpréter.
Correction
\(\frac{\sqrt{1 - x}}{x - 1} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x}}\to-\infty\) : demi-tangente verticale au point \((1 ; 0)\).
Exercice 2
Calculer la dérivée de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\) et de \(g(x) = (2x - 1)^5\).
Correction
\(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\). \(g'(x) = 10(2x - 1)^4\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 1\). Montrer que \(f\) admet une réciproque et calculer \((f^{-1})'(3)\).
Correction
\(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\). \(f(1) = 3\) : \((f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac16\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 2}{x - 1}\). Déterminer l'asymptote oblique et la position relative.
Correction
\(2x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(2x - 1) + 1\), donc \(f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x - 1}\). Asymptote \(y = 2x - 1\) ; courbe au-dessus pour \(x > 1\), en dessous pour \(x < 1\).
Exercice 5
Étudier la concavité de \(f(x) = x^4 - 6x^2\) et préciser les points d'inflexion.
Correction
\(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)\) : convexe sur \(]-\infty ; -1]\) et \([1 ; +\infty[\), concave sur \([-1 ; 1]\). Points d'inflexion \((-1 ; -5)\) et \((1 ; -5)\).