1. Continuité en un point et sur un intervalle
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\). Elle est continue à droite (resp. à gauche) si \(\lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)\) (resp. \(a^-\)).
\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(a\). Les polynômes, les fractions rationnelles, \(\sqrt{x}\), \(\sin\), \(\cos\) sont continues sur leur domaine ; les sommes, produits, quotients et composées aussi.
2. Image d'un intervalle et TVI
- L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
TVI : si \(f\) est continue sur \([a ; b]\) et \(f(a)f(b) < 0\), l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a ; b[\). Si de plus \(f\) est strictement monotone, la solution est unique.
On encadre la solution par dichotomie (on coupe l'intervalle en deux à chaque étape).
3. Fonction réciproque
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), elle est une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\) ; sa réciproque \(f^{-1}\) est continue, de même sens de variation, et sa courbe est symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\).
\(f^{-1}(y) = x\Leftrightarrow f(x) = y\), avec \(x\in I\) et \(y\in J\).
4. Racine \(n\)-ième
Pour \(x\ge0\), \(\sqrt[n]{x}\) est l'unique réel positif \(y\) tel que \(y^n = x\).
\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\]
Exemple
\(x^3 = 27\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{27} = 3\). Et \(\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2\).