Exercice 1
Soit \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) si \(x\neq1\) et \(f(1) = a\). Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
Correction
\(f(x) = x + 1\to2\) : \(a = 2\).
Exercice 2
Soit \(g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x\le0 \\ \sqrt{x} + 1 & x > 0 \end{cases}\). Étudier la continuité de \(g\) en \(0\).
Correction
\(\lim_{0^-}g = 1 = g(0)\) et \(\lim_{0^+}g = 1\) : \(g\) est continue en \(0\).
Exercice 3
Montrer que l'équation \(x^3 - 3x + 1 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0 ; 1[\).
Correction
\(h(x) = x^3 - 3x + 1\), \(h'(x) = 3(x^2 - 1) < 0\) sur \(]0 ; 1[\) : strictement décroissante, continue. \(h(0) = 1 > 0\), \(h(1) = -1 < 0\) : solution unique.
Exercice 4
Soit \(f(x) = \sqrt{x - 2}\) sur \([2 ; +\infty[\). Montrer que \(f\) admet une réciproque et déterminer \(f^{-1}(x)\).
Correction
\(f\) est continue et strictement croissante, \(f([2 ; +\infty[) = [0 ; +\infty[\). \(y = \sqrt{x - 2}\Leftrightarrow x = y^2 + 2\) : \(f^{-1}(x) = x^2 + 2\) sur \([0 ; +\infty[\).
Exercice 5
Calculer \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{x}}{x}\) et simplifier \(\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}\).
Correction
\(\frac{x^{1/3}}{x} = x^{-2/3}\to0\). \(\sqrt[3]{27} = 3\).