Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x - \sqrt{x}}{x - 1}\) pour \(x\ge0\), \(x\neq1\).
- Montrer que pour \(x\neq1\), \(f(x) = \frac{\sqrt x}{\sqrt x + 1}\). (3 pts)
- En déduire que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(1\). (2 pts)
- Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). (3 pts)
Correction
- \(x - \sqrt x = \sqrt x(\sqrt x - 1)\) et \(x - 1 = (\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)\).
- \(\lim_{x\to1}f(x) = \frac12\) : on pose \(f(1) = \frac12\).
- \(\frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt x}}\to1\).
Exercice 2 (12 pts)
Soit \(g(x) = x^3 + 2x - 4\).
- Étudier les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (3 pts)
- Montrer que \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) et que \(1 < \alpha < 1{,}5\). (4 pts)
- Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}25\). (2 pts)
- Montrer que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(g^{-1}(-4)\) et \(g^{-1}(8)\). (3 pts)
Correction
- \(g'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) : strictement croissante, limites \(\pm\infty\).
- \(g(1) = -1 < 0\) et \(g(1{,}5) = 3{,}375 + 3 - 4 = 2{,}375 > 0\).
- \(g(1{,}25)\approx1{,}95 + 2{,}5 - 4 = 0{,}45 > 0\) : \(1 < \alpha < 1{,}25\).
- Bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). \(g(0) = -4\) donc \(g^{-1}(-4) = 0\). \(g(2) = 8\) donc \(g^{-1}(8) = 2\).