1. Définition
\(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\).
- Toute fonction continue sur \(I\) admet des primitives.
- Si \(F\) est une primitive de \(f\), les autres sont les fonctions \(F + c\), \(c\in\mathbb{R}\).
- Il existe une unique primitive prenant une valeur donnée \(y_0\) en \(x_0\).
2. Primitives usuelles
| \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|
| \(a\) | \(ax\) |
| \(x^n\) (\(n\neq-1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n + 1}\) |
| \(\frac{1}{x^2}\) | \(-\frac1x\) |
| \(\frac{1}{\sqrt x}\) | \(2\sqrt x\) |
| \(\cos(ax + b)\) | \(\frac1a\sin(ax + b)\) |
| \(\sin(ax + b)\) | \(-\frac1a\cos(ax + b)\) |
| \(1 + \tan^2x\) | \(\tan x\) |
3. Formes composées
| Forme | Primitive |
|---|---|
| \(u'u^n\) (\(n\neq-1\)) | \(\frac{u^{n+1}}{n + 1}\) |
| \(\frac{u'}{u^2}\) | \(-\frac1u\) |
| \(\frac{u'}{\sqrt u}\) | \(2\sqrt u\) |
| \(u'\cdot v'\circ u\) | \(v\circ u\) |
Exemple
Une primitive de \(f(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\) est \(F(x) = -\frac{1}{x^2 + 1}\).