1. Définition et propriétés
\(\ln\) est l'unique primitive de \(x\mapsto\frac1x\) sur \(]0 ; +\infty[\) qui s'annule en \(1\). Elle est continue, strictement croissante, et \(\ln e = 1\).
Pour \(a, b > 0\) et \(n\in\mathbb{Z}\) :
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln a^n = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac12\ln a\]
2. Équations et inéquations
- \(\ln a = \ln b\Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a < \ln b\Leftrightarrow a < b\) (avec \(a, b > 0\)).
- \(\ln x = k\Leftrightarrow x = e^k\).
- On commence toujours par déterminer le domaine de validité.
3. Limites usuelles
\[\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty \quad \lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} = 0 \quad \lim_{x\to0^+}x\ln x = 0 \quad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\]
4. Dérivées
\((\ln x)' = \frac1x\) et, si \(u > 0\), \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\). Plus généralement \((\ln|u|)' = \frac{u'}{u}\).
5. Logarithme décimal
\(\log x = \frac{\ln x}{\ln10}\), \(\log10^n = n\). Utilisé en chimie (pH \(= -\log[H_3O^+]\)) et en acoustique.
Exemple
\(\ln(x + 1) + \ln(x - 1) = \ln8\) : domaine \(x > 1\), puis \(x^2 - 1 = 8\), \(x = 3\).