1. Définition
\(\exp\) est la réciproque de \(\ln\) : \(y = e^x\Leftrightarrow x = \ln y\) (\(y > 0\)).
\(e^x > 0\), \(e^0 = 1\), \(\ln(e^x) = x\), \(e^{\ln x} = x\) pour \(x > 0\).
2. Propriétés
\[e^{a + b} = e^ae^b \qquad e^{a - b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad (e^a)^n = e^{na}\]
- \(e^a = e^b\Leftrightarrow a = b\) ; \(e^a < e^b\Leftrightarrow a < b\).
3. Dérivée
\((e^x)' = e^x\) et \((e^{u})' = u'e^{u}\). La fonction \(\exp\) est strictement croissante et convexe.
4. Limites
\[\lim_{x\to-\infty}e^x = 0 \quad \lim_{x\to+\infty}e^x = +\infty \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty \quad \lim_{x\to-\infty}xe^x = 0 \quad \lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{x} = 1\]
5. Primitive
Une primitive de \(u'e^u\) est \(e^u\). Exemple : une primitive de \(2xe^{x^2}\) est \(e^{x^2}\).
6. Applications
Croissance ou décroissance exponentielle : radioactivité \(N(t) = N_0e^{-\lambda t}\), charge d'un condensateur \(q(t) = Q(1 - e^{-\frac{t}{RC}})\).