Exercice 1
Simplifier \(A = \frac{e^{2x}\times e^{-x}}{e^{x + 1}}\) et \(B = e^{2\ln3}\).
Correction
\(A = e^{2x - x - x - 1} = e^{-1}\). \(B = e^{\ln9} = 9\).
Exercice 2
Résoudre : \(e^{3x - 1} = 1\) ; \(e^{2x} + e^x - 6 = 0\) ; \(e^{x} > 2\).
Correction
\(x = \frac13\). \(e^x = 2\) (l'autre racine \(-3\) est impossible) : \(x = \ln2\). \(x > \ln2\).
Exercice 3
Calculer : \(\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}\), \(\lim_{x\to-\infty}(x + 1)e^x\), \(\lim_{x\to0}\frac{e^{3x} - 1}{x}\).
Correction
\(+\infty\). \(xe^x + e^x\to0\). \(3\).
Exercice 4
Étudier les variations de \(f(x) = xe^{-x}\).
Correction
\(f'(x) = (1 - x)e^{-x}\) : croissante sur \(]-\infty ; 1]\), décroissante sur \([1 ; +\infty[\), maximum \(f(1) = \frac1e\).
Exercice 5
Un échantillon radioactif vérifie \(N(t) = N_0e^{-0{,}05t}\) (\(t\) en jours). Calculer la demi-vie.
Correction
\(e^{-0{,}05t} = \frac12\Leftrightarrow t = \frac{\ln2}{0{,}05} = 20\ln2\approx13{,}9\) jours.