Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Partie A (6 pts)
Soit \(g(x) = e^x - x - 1\).
- Étudier les variations de \(g\). (3 pts)
- En déduire que \(g(x)\ge0\) pour tout \(x\). (3 pts)
Partie B (14 pts)
Soit \(f(x) = (x + 1)e^{-x}\).
- Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) ; interpréter. (4 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation. (4 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente en \(0\). (2 pts)
- Montrer que la courbe admet un point d'inflexion. (4 pts)
Correction
A1. \(g'(x) = e^x - 1\) : décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\). A2. Minimum \(g(0) = 0\). B1. En \(-\infty\) : \((x + 1)\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\) : \(f\to-\infty\) ; de plus \(\frac{f(x)}{x}\to+\infty\) (branche parabolique verticale). En \(+\infty\) : \(\frac{x}{e^x} + \frac{1}{e^x}\to0\), asymptote \(y = 0\). B2. \(f'(x) = e^{-x} - (x + 1)e^{-x} = -xe^{-x}\) : croissante sur \(]-\infty ; 0]\), décroissante sur \([0 ; +\infty[\), maximum \(f(0) = 1\). B3. \(f'(0) = 0\) : \(y = 1\). B4. \(f''(x) = (x - 1)e^{-x}\) change de signe en \(1\) : point d'inflexion \((1 ; \frac2e)\).