1. Forme algébrique
\(z = a + ib\) avec \(a, b\in\mathbb{R}\) et \(i^2 = -1\). \(\text{Re}(z) = a\), \(\text{Im}(z) = b\).
- Conjugué \(\bar z = a - ib\) ; \(z\bar z = a^2 + b^2\).
- Pour diviser : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. Représentation géométrique
Le point \(M(a ; b)\) est l'image de \(z = a + ib\). Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour affixe \(z_B - z_A\) ; le milieu de \([AB]\) a pour affixe \(\frac{z_A + z_B}{2}\).
3. Module et argument
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = OM\) et \(\arg z\equiv(\vec{u}, \vec{OM})\ [2\pi]\).
\[|zz'| = |z||z'| \qquad \arg(zz')\equiv\arg z + \arg z' \qquad \arg\left(\frac{z}{z'}\right)\equiv\arg z - \arg z' \qquad \arg(z^n)\equiv n\arg z\]
4. Formes trigonométrique et exponentielle
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} \qquad (r > 0)\]
Formule de Moivre : \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\).
5. Géométrie
- \(AB = |z_B - z_A|\).
- \((\vec{AB}, \vec{AC})\equiv\arg\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\).
- Rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) : \(z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)\).
- Translation : \(z' = z + b\) ; homothétie : \(z' - \omega = k(z - \omega)\).
6. Équation \(az^2 + bz + c = 0\) (coefficients réels)
Si \(\Delta < 0\) : \(z_{1,2} = \frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).