1. Définition
Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) : \(\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\).
2. Propriétés
- \(\int_a^a f = 0\) ; \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
- Chasles : \(\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\).
- Linéarité : \(\int_a^b(\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).
- Si \(a\le b\) et \(f\le g\) sur \([a ; b]\) : \(\int_a^b f\le\int_a^b g\).
- Valeur moyenne : \(\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx\).
3. Intégration par parties
\[\int_a^b u'v\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b uv'\,dx\]
Utile pour \(\int x e^x\), \(\int x\ln x\), \(\int\ln x\), \(\int x\cos x\)…
4. Aires et volumes
- Aire sous la courbe : \(\int_a^b|f(x)|\,dx\) u.a. (unité d'aire \(= \|\vec i\|\times\|\vec j\|\)).
- Aire entre deux courbes : \(\int_a^b|f(x) - g(x)|\,dx\).
- Volume de révolution autour de l'axe des abscisses : \(\pi\int_a^b f(x)^2\,dx\).
Exemple
\(\int_0^1(3x^2 + 2x)\,dx = [x^3 + x^2]_0^1 = 2\).