Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Calculer :
- \(I = \int_0^1(2x - 1)^3\,dx\) (2 pts)
- \(J = \int_1^2\frac{\ln x}{x}\,dx\) (3 pts)
- \(K = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx\) (3 pts)
Correction
- \(\left[\frac{(2x - 1)^4}{8}\right]_0^1 = \frac18 - \frac18 = 0\).
- \(\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^2 = \frac{(\ln2)^2}{2}\).
- \(u = x\), \(v' = \sin x\) : \([-x\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx = 0 + 1 = 1\).
Exercice 2 (12 pts)
Soit \(f(x) = xe^{-x}\) sur \([0 ; +\infty[\) et \((C_f)\) sa courbe (unité \(2\) cm).
- Montrer que \(F(x) = -(x + 1)e^{-x}\) est une primitive de \(f\). (3 pts)
- Calculer l'aire \(\mathcal{A}(\lambda)\) du domaine limité par \((C_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = \lambda\) (\(\lambda > 0\)), en cm². (5 pts)
- Calculer \(\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal{A}(\lambda)\). (4 pts)
Correction
- \(F'(x) = -e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = xe^{-x}\).
- \(f\ge0\) : \(\int_0^{\lambda}f = F(\lambda) - F(0) = 1 - (\lambda + 1)e^{-\lambda}\) u.a. ; une u.a. vaut \(4\) cm², donc \(\mathcal{A}(\lambda) = 4\left(1 - (\lambda + 1)e^{-\lambda}\right)\) cm².
- \((\lambda + 1)e^{-\lambda}\to0\) : la limite vaut \(4\) cm².