Exercice 1
Écrire sous forme algébrique \(z = \frac{3 + i}{1 - 2i}\).
Correction
\(z = \frac{(3 + i)(1 + 2i)}{5} = \frac{3 + 6i + i - 2}{5} = \frac15 + \frac75i\).
Exercice 2
Donner le module et un argument de \(z_1 = -1 + i\) et \(z_2 = \sqrt3 - i\), puis la forme exponentielle de \(z_1z_2\).
Correction
\(z_1 = \sqrt2e^{i\frac{3\pi}{4}}\), \(z_2 = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}\). \(z_1z_2 = 2\sqrt2e^{i\frac{7\pi}{12}}\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 4z + 13 = 0\).
Correction
\(\Delta = -36\) : \(z = -2\pm3i\).
Exercice 4
Soient \(A(2 + i)\), \(B(4 + 3i)\), \(C(2i)\). Calculer \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) et interpréter.
Correction
\(\frac{-2 + i}{2 + 2i} = \frac{(-2 + i)(2 - 2i)}{8} = \frac{-4 + 4i + 2i + 2}{8} = \frac{-2 + 6i}{8} = -\frac14 + \frac34i\). Ce n'est ni un réel ni un imaginaire pur : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et le triangle n'est pas rectangle en \(A\).
Exercice 5
Déterminer l'image de \(M(1 + i)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
Correction
\(z' = i(1 + i) = -1 + i\).