Nombres complexes — Examen (1 h 30) — 2ème année Bac Sciences Physiques & SVT

Durée : 1 h 30. Barème sur 20.

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 6z + 18 = 0\). (3 pts)
On considère \(A(3 + 3i)\), \(B(3 - 3i)\) et \(C(6)\). Écrire \(z_A\) et \(z_B\) sous forme exponentielle. (4 pts)
Montrer que \(\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = -i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\). (5 pts)
Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\). Montrer que \(R(A) = B\). (4 pts)
Déterminer l'affixe du point \(D\) tel que \(ACBD\) soit un carré. (4 pts)

Correction

\(\Delta = 36 - 72 = -36\) : \(z = 3\pm3i\).
\(z_A = 3\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}\), \(z_B = 3\sqrt2e^{-i\frac{\pi}{4}}\).
\(\frac{-3 + 3i}{-3 - 3i} = \frac{-1 + i}{-1 - i} = \frac{(-1 + i)(-1 + i)}{2} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = -i\). Donc \(CA = CB\) et \((\vec{CB}, \vec{CA})\equiv-\frac{\pi}{2}\) : triangle rectangle isocèle en \(C\).
\(R : z' - 6 = i(z - 6)\). Pour \(A\) : \(z' = i(-3 + 3i) + 6 = -3i - 3 + 6 = 3 - 3i = z_B\).
Le quatrième sommet du carré \(ACBD\) est le symétrique de \(C\) par rapport au milieu \(I(3)\) de \([AB]\) : \(z_D = 2\times3 - 6 = 0\), donc \(D = O\).