Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Déterminer une primitive de chacune des fonctions :
- \(f_1(x) = 6x^2 - \frac{4}{x^3}\) (2 pts)
- \(f_2(x) = (2x + 1)\sqrt{x^2 + x}\) (3 pts)
- \(f_3(x) = \sin x\cos^3x\) (2 pts)
- \(f_4(x) = \frac{x + 1}{(x^2 + 2x + 3)^2}\) (3 pts)
Correction
- \(2x^3 + \frac{2}{x^2}\).
- \(u = x^2 + x\), \(u' = 2x + 1\) : \(\frac23(x^2 + x)^{\frac32}\).
- \(-\frac{\cos^4x}{4}\).
- \(u = x^2 + 2x + 3\), \(u' = 2(x + 1)\) : \(-\frac{1}{2(x^2 + 2x + 3)}\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\) sur \(]-1 ; +\infty[\).
- Montrer que \(f(x) = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2}\). (3 pts)
- En déduire les primitives de \(f\). (3 pts)
- Déterminer la primitive \(F\) qui s'annule en \(0\). (4 pts)
Correction
- \((x + 1)^2 - 1 = x^2 + 2x\).
- \(F(x) = x + \frac{1}{x + 1} + c\).
- \(F(0) = 1 + c = 0\) : \(F(x) = x + \frac{1}{x + 1} - 1\).