Série 2 — convergence, encadrements et suites auxiliaires.
Exercice 1
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{2}\).
- Montrer par récurrence que \(0 \le u_n \le 4\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
- Que peut-on en conclure ?
Correction
- \(u_0 = 0\) convient ; si \(0 \le u_n \le 4\), alors \(2 \le u_{n+1} \le 4\).
- \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{4 - u_n}{2} \ge 0\).
- La suite est croissante et majorée, donc elle converge.
Exercice 2
Pour la suite précédente, poser \(v_n = u_n - 4\) et déterminer \(u_n\), puis sa limite.
Correction
\(v_{n+1} = \dfrac12 v_n\) avec \(v_0 = -4\) : \(v_n = -4\left(\dfrac12\right)^n\) et \(u_n = 4 - 4\left(\dfrac12\right)^n\). Comme \(\left(\dfrac12\right)^n \to 0\), la limite vaut \(4\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2 - n}{n^2 + 2}\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac23\right)^n\).
Correction
La première vaut \(3\) ; la seconde vaut \(0\) car \(\left\lvert\dfrac23\right\rvert < 1\).
Exercice 4
Déterminer la limite de \(u_n = \dfrac{\sin n}{n}\).
Correction
\(-\dfrac1n \le u_n \le \dfrac1n\) ; d'après le théorème des gendarmes, la limite vaut \(0\).
Exercice 5
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\). Discuter la limite selon \(q\).
Correction
\(\lvert q\rvert < 1\) : limite \(0\). \(q = 1\) : limite \(u_0\). \(q > 1\) : limite infinie (du signe de \(u_0\)). \(q \le -1\) : pas de limite.
Exercice 6
Soit \(u_n = \dfrac{2^n}{3^n + 1}\). Déterminer sa limite.
Correction
\(u_n = \dfrac{\left(\frac23\right)^n}{1 + \left(\frac13\right)^n} \to \dfrac{0}{1} = 0\).
Exercice 7
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\). Montrer que \(3 \le u_n\) pour tout \(n\), puis que la suite est décroissante.
Correction
\(u_0 = 3\) ; si \(u_n \ge 3\), alors \(2u_n + 3 \ge 9\), donc \(u_{n+1} \ge 3\). \(u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2u_n + 3 - u_n^2 = -(u_n-3)(u_n+1) \le 0\) pour \(u_n \ge 3\) : la suite est décroissante.