Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{4n^2 + n}{2n^2 - 3}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac34\right)^n\) (1{,}5 pt)
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\cos n}{n}\) (1{,}5 pt)
Correction
- \(2\).
- \(0\).
- \(0\) (théorème des gendarmes).
Exercice 2 (7 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 6}{2}\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \le 6\). (3 pts)
- Montrer que \((u_n)\) est croissante. (2 pts)
- Conclure sur la convergence. (2 pts)
Correction
- \(u_0 = 1 \le 6\) ; si \(u_n \le 6\), alors \(u_{n+1} = \dfrac{u_n+6}{2} \le 6\).
- \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{6 - u_n}{2} \ge 0\).
- Croissante et majorée : la suite converge (vers \(6\)).
Exercice 3 (5 pts)
Pour la suite précédente, on pose \(v_n = u_n - 6\).
- Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (3 pts)
- En déduire \(u_n\) et sa limite. (2 pts)
Correction
- \(v_{n+1} = \dfrac{u_n+6}{2} - 6 = \dfrac{u_n - 6}{2} = \dfrac12 v_n\), avec \(v_0 = -5\).
- \(u_n = 6 - 5\left(\dfrac12\right)^n\), de limite \(6\).
Exercice 4 (3 pts)
Déterminer la limite de \(u_n = \dfrac{3^n}{3^n + 2^n}\).
Correction
\(u_n = \dfrac{1}{1 + \left(\frac23\right)^n} \to 1\).