L'essentiel en une page
| Forme | Écriture |
|---|---|
| Algébrique | \(z = a + ib\) |
| Trigonométrique | \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
| Exponentielle | \(re^{i\theta}\) |
Euler : \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\).
Moivre : \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\), soit \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\).
| Racines \(n\)-ièmes de \(z_0 = re^{i\alpha}\) | Formule |
|---|---|
| \(z_k\) | \(\sqrt[n]{r}\;e^{i\frac{\alpha+2k\pi}{n}}\), \(k = 0,\ldots,n-1\) |
Interprétations : \(\lvert z_B - z_A\rvert = AB\) ; \(\arg\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) est l'angle \(\widehat{(\vec{AB}\,;\vec{AC})}\) ; ce quotient vaut \(i\) pour un triangle rectangle isocèle en \(A\).
Ce que je dois savoir faire
- Passer d'une forme à l'autre.
- Calculer une puissance avec Moivre.
- Résoudre \(z^n = a\) et placer les racines sur un cercle.
- Linéariser avec les formules d'Euler.
- Caractériser un triangle par un quotient d'affixes.
Les pièges à éviter
- L'argument est défini modulo \(2\pi\).
- Pour \(z^n = a\), il y a exactement \(n\) racines.
- \(\lvert z_1 + z_2\rvert \ne \lvert z_1\rvert + \lvert z_2\rvert\) en général.
- Vérifier le quadrant avant de donner un argument.
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Forme exponentielle de \(i\) ? \((1+i)^4\) ? Combien de solutions pour \(z^5 = 1\) ? Quotient d'affixes valant \(i\) : quelle configuration ?
Réponses
\(e^{i\frac{\pi}{2}}\) ; \(-4\) ; cinq ; triangle rectangle isocèle.