Série 2 — forme exponentielle, Moivre et transformations.
Exercice 1
Écrire sous forme exponentielle \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = -\sqrt3 + i\).
Correction
\(z_1 = \sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\) ; \(z_2 = 2\,e^{i\frac{5\pi}{6}}\).
Exercice 2
Calculer \((1+i)^{12}\).
Correction
\((1+i)^{12} = \left(\sqrt2\right)^{12}e^{i3\pi} = 64\,e^{i\pi} = -64\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^3 = 8\).
Correction
\(8 = 8e^{i0}\), donc \(z = 2e^{i\frac{2k\pi}{3}}\) pour \(k = 0, 1, 2\) : \(z_0 = 2\), \(z_1 = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} = -1 + i\sqrt3\), \(z_2 = -1 - i\sqrt3\).
Exercice 4
Linéariser \(\cos^3\theta\) à l'aide des formules d'Euler.
Correction
\(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), donc \(\cos^3\theta = \dfrac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} = \dfrac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}\).
Exercice 5
\(A\), \(B\), \(C\) ont pour affixes \(a = 1+i\), \(b = 3+3i\), \(c = -1+3i\). Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
Correction
\(b - a = 2 + 2i\) et \(c - a = -2 + 2i\). \(\dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{-2+2i}{2+2i} = \dfrac{(-2+2i)(2-2i)}{8} = \dfrac{8i}{8} = i\). Le quotient vaut \(i\) : son module est \(1\) (longueurs égales) et son argument \(\dfrac{\pi}{2}\) (angle droit).
Exercice 6
Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\left\lvert\dfrac{z-1}{z+1}\right\rvert = 1\), avec \(z \ne -1\).
Correction
L'égalité équivaut à \(\lvert z-1\rvert = \lvert z+1\rvert\) : \(M\) est équidistant de \(A(1\,;0)\) et \(B(-1\,;0)\). C'est la médiatrice de \([AB]\), soit l'axe des ordonnées (privé d'aucun point ici, car \(-1 \ne 0\)).
Exercice 7
Écrire \(e^{i\theta} + e^{i\varphi}\) sous forme factorisée.
Correction
\(e^{i\theta} + e^{i\varphi} = e^{i\frac{\theta+\varphi}{2}}\left(e^{i\frac{\theta-\varphi}{2}} + e^{-i\frac{\theta-\varphi}{2}}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\theta-\varphi}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\varphi}{2}}\).