Exercice 1
Écrire sous forme algébrique : \(z_1 = (2 + i)(1 - 3i)\), \(z_2 = \frac{1 + i}{1 - i}\).
Correction
\(z_1 = 2 - 6i + i + 3 = 5 - 5i\). \(z_2 = \frac{(1 + i)^2}{2} = \frac{2i}{2} = i\).
Exercice 2
Écrire \(z = 1 + i\sqrt3\) sous forme exponentielle, puis calculer \(z^6\).
Correction
\(|z| = 2\), \(\arg z = \frac{\pi}{3}\) : \(z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}\). \(z^6 = 64e^{2i\pi} = 64\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 2z + 5 = 0\).
Correction
\(\Delta = 4 - 20 = -16\) : \(z = 1 + 2i\) ou \(z = 1 - 2i\).
Exercice 4
Soient \(A(1)\), \(B(3 + 2i)\), \(C(-1 + 2i)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
Correction
\(\frac{c - a}{b - a} = \frac{-2 + 2i}{2 + 2i} = \frac{(-2 + 2i)(2 - 2i)}{8} = \frac{8i}{8} = i\). Module \(1\) et argument \(\frac{\pi}{2}\) : \(AB = AC\) et angle droit en \(A\).
Exercice 5
Déterminer l'écriture complexe de la rotation de centre \(\Omega(1 + i)\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\), puis l'image de \(O\).
Correction
\(z' - (1 + i) = i(z - 1 - i)\), soit \(z' = iz + 2\). Image de \(O\) : \(2\).
Exercice 6
Linéariser \(\cos^3\theta\) à l'aide des formules d'Euler.
Correction
\(\cos^3\theta = \frac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^3}{8} = \frac{2\cos3\theta + 6\cos\theta}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}\).