Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 2\sqrt3z + 4 = 0\). (2 pts)
- Écrire les solutions \(z_1\) (\(\text{Im} > 0\)) et \(z_2\) sous forme exponentielle. (2 pts)
- Montrer que \(z_1^{12}\) est réel et le calculer. (2 pts)
- Déterminer les entiers \(n\) tels que \(z_1^n\) soit imaginaire pur. (2 pts)
Correction
- \(\Delta = 12 - 16 = -4\) : \(z = \sqrt3\pm i\).
- \(z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}\), \(z_2 = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}\).
- \(z_1^{12} = 2^{12}e^{2i\pi} = 4096\).
- \(\frac{n\pi}{6}\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi]\Leftrightarrow n = 3 + 6k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Exercice 2 (12 pts)
Dans le plan complexe, on considère \(A(2i)\), \(B(2)\) et la rotation \(R\) de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).
- Donner l'écriture complexe de \(R\). (2 pts)
- Soit \(C = R(B)\). Calculer l'affixe de \(C\) et la nature du triangle \(OBC\). (3 pts)
- Soit \(D\) le milieu de \([AC]\). Calculer son affixe \(d\). (3 pts)
- Calculer les distances \(AC = |c - a|\) et \(AB = |b - a|\). (4 pts)
Correction
- \(z' = e^{i\frac{\pi}{3}}z = \left(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\right)z\).
- \(c = 2e^{i\frac{\pi}{3}} = 1 + i\sqrt3\). \(OB = OC\) et angle \(\frac{\pi}{3}\) : triangle équilatéral.
- \(d = \frac{2i + 1 + i\sqrt3}{2} = \frac12 + i\frac{2 + \sqrt3}{2}\).
- \(c - a = 1 + i(\sqrt3 - 2)\) : \(|c - a| = \sqrt{1 + (2 - \sqrt3)^2} = \sqrt{8 - 4\sqrt3}\). \(|b - a| = |2 - 2i| = 2\sqrt2\).