1. Primitives
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F' = f\). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et deux primitives diffèrent d'une constante.
| \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) |
|---|---|
| \(x^r\) (\(r\neq-1\)) | \(\frac{x^{r+1}}{r + 1}\) |
| \(\frac1x\) | \(\ln x\) (\(x > 0\)) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) |
| \(\frac{1}{1 + x^2}\) | \(\arctan x\) |
| \(u'u^r\) | \(\frac{u^{r+1}}{r + 1}\) |
| \(\frac{u'}{u}\) | \(\ln\lvert u\rvert\) |
| \(u'e^u\) | \(e^u\) |
2. Intégrale
Si \(F\) est une primitive de \(f\) continue sur \([a ; b]\) : \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\).
Propriétés
- Chasles : \(\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\).
- Linéarité : \(\int_a^b(\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).
- Positivité : si \(a\le b\) et \(f\ge0\), alors \(\int_a^b f\ge0\). Si \(f\le g\), \(\int_a^b f\le\int_a^b g\).
- Valeur moyenne : \(\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx\).
3. Intégration par parties
\[\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx\]
4. Calcul d'aires et de volumes
- Aire entre \((C_f)\), l'axe des abscisses et \(x = a\), \(x = b\) : \(\mathcal{A} = \int_a^b|f(x)|\,dx\) (en unités d'aire).
- Aire entre deux courbes : \(\int_a^b|f(x) - g(x)|\,dx\).
- Volume du solide de révolution engendré par \((C_f)\) autour de l'axe des abscisses : \(V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx\).
Exemple
\(\int_1^e\ln x\,dx\) : avec \(u = \ln x\), \(v' = 1\) : \([x\ln x]_1^e - \int_1^e1\,dx = e - (e - 1) = 1\).