Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^1x^ne^{-x}\,dx\).
- Calculer \(I_0\) et \(I_1\). (3 pts)
- Montrer par parties que \(I_{n+1} = (n + 1)I_n - \frac1e\). (3 pts)
- Montrer que \(0\le I_n\le\frac{1}{n + 1}\) et en déduire \(\lim I_n\). (4 pts)
Correction
- \(I_0 = 1 - \frac1e\). \(I_1 = [-xe^{-x}]_0^1 + \int_0^1e^{-x}\,dx = -\frac1e + 1 - \frac1e = 1 - \frac2e\).
- \(u = x^{n+1}\), \(v' = e^{-x}\) : \(I_{n+1} = [-x^{n+1}e^{-x}]_0^1 + (n + 1)\int_0^1x^ne^{-x}\,dx = -\frac1e + (n + 1)I_n\).
- Sur \([0 ; 1]\), \(0\le x^ne^{-x}\le x^n\) donc \(0\le I_n\le\int_0^1x^n\,dx = \frac{1}{n + 1}\). Par encadrement, \(I_n\to0\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(f(x) = x\ln x\) sur \([1 ; e]\).
- Calculer \(\int_1^e x\ln x\,dx\) par parties. (4 pts)
- En déduire l'aire du domaine limité par \((C_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 1\) et \(x = e\). (2 pts)
- Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([1 ; e]\). (4 pts)
Correction
- \(u = \ln x\), \(v' = x\) : \(\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e\frac{x}{2}\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}\).
- \(f\ge0\) sur \([1 ; e]\) : aire \(= \frac{e^2 + 1}{4}\) u.a.
- \(\mu = \frac{1}{e - 1}\cdot\frac{e^2 + 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4(e - 1)}\).