1. Forme algébrique
Tout complexe s'écrit \(z = a + ib\) avec \(a = \text{Re}(z)\), \(b = \text{Im}(z)\) réels et \(i^2 = -1\).
- Conjugué : \(\bar{z} = a - ib\). \(z + \bar{z} = 2a\), \(z\bar{z} = a^2 + b^2\).
- \(\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}\), \(\overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'}\).
- \(z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow z = \bar{z}\) ; \(z\) imaginaire pur \(\Leftrightarrow z = -\bar{z}\).
2. Module et argument
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Si \(z\neq0\), un argument \(\theta\) vérifie \(\cos\theta = \frac{a}{|z|}\), \(\sin\theta = \frac{b}{|z|}\).
\[|zz'| = |z||z'| \qquad \arg(zz')\equiv\arg z + \arg z'\ [2\pi] \qquad \arg\frac{z}{z'}\equiv\arg z - \arg z'\ [2\pi]\]
3. Formes trigonométrique et exponentielle
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\]
- Moivre : \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\).
- Euler : \(\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\).
4. Géométrie
Le point \(M(a ; b)\) a pour affixe \(z = a + ib\). Pour des points \(A\), \(B\), \(C\) d'affixes \(a\), \(b\), \(c\) :
- \(AB = |b - a|\) et \((\vec{u}, \vec{AB})\equiv\arg(b - a)\).
- \((\vec{AB}, \vec{AC})\equiv\arg\frac{c - a}{b - a}\).
- \(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\Leftrightarrow\frac{c - a}{b - a}\in\mathbb{R}\) ; \((AB)\perp(AC)\Leftrightarrow\frac{c - a}{b - a}\in i\mathbb{R}\).
5. Équations du second degré
Pour \(az^2 + bz + c = 0\) (\(a, b, c\) réels, \(a\neq0\)), \(\Delta = b^2 - 4ac\). Si \(\Delta < 0\) : \(z = \frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) (solutions conjuguées).
6. Transformations
- Translation de vecteur d'affixe \(b\) : \(z' = z + b\).
- Homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport \(k\) : \(z' - \omega = k(z - \omega)\).
- Rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d'angle \(\theta\) : \(z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)\).