Exercice 1
Déterminer une primitive de : \(f(x) = 3x^2 - \frac{2}{x^2}\), \(g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\), \(h(x) = xe^{x^2}\), \(k(x) = \frac{\ln x}{x}\).
Correction
\(F = x^3 + \frac2x\). \(G = \ln(x^2 + 1)\). \(H = \frac12e^{x^2}\). \(K = \frac12(\ln x)^2\).
Exercice 2
Calculer \(I = \int_0^1(2x + 1)^3\,dx\) et \(J = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^2x\,dx\).
Correction
\(I = \left[\frac{(2x + 1)^4}{8}\right]_0^1 = \frac{81 - 1}{8} = 10\). \(J = \left[-\frac{\cos^3x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac13\).
Exercice 3
Calculer par parties \(\int_0^1xe^x\,dx\) et \(\int_0^{\pi}x\cos x\,dx\).
Correction
\([xe^x]_0^1 - \int_0^1e^x\,dx = e - (e - 1) = 1\). \([x\sin x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi}\sin x\,dx = 0 - 2 = -2\).
Exercice 4
Calculer l'aire du domaine limité par les courbes \(y = x^2\) et \(y = x\).
Correction
Intersection en \(0\) et \(1\), et \(x\ge x^2\) sur \([0 ; 1]\) : \(\int_0^1(x - x^2)\,dx = \frac12 - \frac13 = \frac16\) u.a.
Exercice 5
Calculer \(\int_0^1\frac{dx}{1 + x^2}\) et le volume engendré par la rotation de \(y = \sqrt{x}\), \(x\in[0 ; 4]\), autour de l'axe des abscisses.
Correction
\([\arctan x]_0^1 = \frac{\pi}{4}\). \(V = \pi\int_0^4x\,dx = 8\pi\) u.v.