1. Équation \(y' = ay + b\)
Les solutions de \(y' = ay\) (\(a\in\mathbb{R}\)) sont les fonctions \(y(x) = Ce^{ax}\), \(C\in\mathbb{R}\).
Pour \(y' = ay + b\) (\(a\neq0\)) : \(y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}\). Une condition initiale \(y(x_0) = y_0\) détermine une unique solution.
2. Équation \(y'' + ay' + by = 0\)
On lui associe l'équation caractéristique \(r^2 + ar + b = 0\), de discriminant \(\Delta = a^2 - 4b\).
| Cas | Solutions générales |
|---|---|
| \(\Delta > 0\) (racines \(r_1\), \(r_2\)) | \(y = \alpha e^{r_1x} + \beta e^{r_2x}\) |
| \(\Delta = 0\) (racine double \(r\)) | \(y = (\alpha x + \beta)e^{rx}\) |
| \(\Delta < 0\) (racines \(p\pm iq\)) | \(y = e^{px}(\alpha\cos qx + \beta\sin qx)\) |
Deux conditions (par exemple \(y(0)\) et \(y'(0)\)) déterminent une unique solution.
Cas particulier
\(y'' + \omega^2y = 0\) : \(y = \alpha\cos\omega x + \beta\sin\omega x\) (oscillateur harmonique).
Exemple
\(y'' - 3y' + 2y = 0\) : \(r^2 - 3r + 2 = 0\), \(r = 1\) ou \(2\). Solutions : \(y = \alpha e^x + \beta e^{2x}\). Avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\) : \(\alpha + \beta = 1\), \(\alpha + 2\beta = 0\), d'où \(\alpha = 2\), \(\beta = -1\).