Exercice 1
Résoudre \(y' = -2y\) avec \(y(0) = 3\), puis \(2y' + y = 4\).
Correction
\(y = 3e^{-2x}\). \(y' = -\frac12y + 2\) : \(y = Ce^{-\frac{x}{2}} + 4\).
Exercice 2
Résoudre \(y'' + 4y' + 4y = 0\) avec \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\).
Correction
\(r = -2\) double : \(y = (\alpha x + \beta)e^{-2x}\). \(\beta = 1\) ; \(y'(0) = \alpha - 2\beta = 0\) donc \(\alpha = 2\). \(y = (2x + 1)e^{-2x}\).
Exercice 3
Résoudre \(y'' + 2y' + 5y = 0\).
Correction
\(r^2 + 2r + 5 = 0\), \(\Delta = -16\), \(r = -1\pm2i\) : \(y = e^{-x}(\alpha\cos2x + \beta\sin2x)\).
Exercice 4
Résoudre \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = 3\).
Correction
\(y = \alpha\cos3x + \beta\sin3x\) ; \(\alpha = 2\), \(3\beta = 3\) : \(y = 2\cos3x + \sin3x\).
Exercice 5
Soit \((E) : y' - 2y = 2x\). Chercher une solution particulière de la forme \(ax + b\), puis résoudre \((E)\).
Correction
\(a - 2ax - 2b = 2x\) : \(a = -1\), \(b = -\frac12\). \(y = Ce^{2x} - x - \frac12\).