Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \((E) : y'' - 2y' + y = x - 2\).
- Résoudre l'équation homogène \(y'' - 2y' + y = 0\). (3 pts)
- Vérifier que \(g(x) = x\) est une solution particulière de \((E)\). (2 pts)
- En déduire la solution générale de \((E)\). (2 pts)
- Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\). (3 pts)
Correction
- \(r = 1\) double : \(y = (\alpha x + \beta)e^x\).
- \(g'' - 2g' + g = 0 - 2 + x = x - 2\) ✓.
- \(y = (\alpha x + \beta)e^x + x\).
- \(\beta = 1\) ; \(y'(0) = \alpha + \beta + 1 = 0\) donc \(\alpha = -2\). \(y = (1 - 2x)e^x + x\).
Exercice 2 (10 pts)
La température \(\theta(t)\) (en °C) d'un objet vérifie \(\theta'(t) = -0{,}1(\theta(t) - 20)\), avec \(\theta(0) = 80\), \(t\) en minutes.
- Résoudre l'équation différentielle. (4 pts)
- Calculer la température après \(10\) minutes. (2 pts)
- Au bout de combien de temps la température atteint-elle \(30\) °C ? (4 pts)
Correction
- \(\theta' = -0{,}1\theta + 2\) : \(\theta(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20\), \(C = 60\) : \(\theta(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20\).
- \(\theta(10) = 60e^{-1} + 20\approx42{,}1\) °C.
- \(60e^{-0{,}1t} = 10\Leftrightarrow t = 10\ln6\approx17{,}9\) min.