Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Écrire \(z = -1 + i\sqrt3\) sous forme exponentielle. (3 pts)
- En déduire \(z^6\). (2 pts)
Correction
- \(\lvert z\rvert = 2\) et \(\arg z = \dfrac{2\pi}{3}\) : \(z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\).
- \(z^6 = 64\,e^{i4\pi} = 64\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 2z + 10 = 0\), puis écrire les solutions sous forme exponentielle.
Correction
\(\Delta = 4 - 40 = -36\) : \(z = 1 \pm 3i\). \(\lvert 1+3i\rvert = \sqrt{10}\) et \(\arg(1+3i) = \arctan 3\) : \(z = \sqrt{10}\,e^{i\arctan 3}\) (et le conjugué pour l'autre).
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^4 = 1\).
Correction
\(z = e^{i\frac{2k\pi}{4}}\) pour \(k = 0,1,2,3\) : \(z\in\{1\,;i\,;-1\,;-i\}\).
Exercice 4 (5 pts)
\(A\), \(B\), \(C\) ont pour affixes \(a = 0\), \(b = 2\), \(c = 1 + i\sqrt3\).
- Calculer \(\lvert b - a\rvert\), \(\lvert c - a\rvert\) et \(\lvert c - b\rvert\). (3 pts)
- En déduire la nature du triangle. (2 pts)
Correction
- \(\lvert b-a\rvert = 2\) ; \(\lvert c-a\rvert = \lvert 1+i\sqrt3\rvert = 2\) ; \(\lvert c-b\rvert = \lvert -1+i\sqrt3\rvert = 2\).
- Les trois côtés sont égaux : le triangle est équilatéral.