L'essentiel en une page
Forme algébrique : \(z = a + ib\) avec \(a = \mathrm{Re}(z)\) et \(b = \mathrm{Im}(z)\) ; \(i^2 = -1\).
| Notion | Formule |
|---|---|
| Conjugué | \(\bar z = a - ib\) |
| Module | \(\lvert z\rvert = \sqrt{a^2+b^2}\) |
| Propriété | \(z\bar z = \lvert z\rvert^2\) |
| Quotient | multiplier par le conjugué du dénominateur |
| Forme trigonométrique | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) |
Argument : \(\cos\theta = \dfrac ar\) et \(\sin\theta = \dfrac br\) ; \(\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert\) et \(\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\).
| Équation du second degré à coefficients réels | Solutions |
|---|---|
| \(\Delta > 0\) | deux racines réelles |
| \(\Delta = 0\) | une racine double |
| \(\Delta < 0\) | \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |
Interprétations : \(\lvert z - z_A\rvert = AM\) ; \(\lvert z - z_A\rvert = r\) est un cercle ; \(\lvert z - z_A\rvert = \lvert z - z_B\rvert\) est la médiatrice de \([AB]\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer somme, produit, quotient sous forme algébrique.
- Déterminer module et argument, passer en forme trigonométrique.
- Résoudre une équation du second degré dans \(\mathbb{C}\).
- Reconnaître un lieu géométrique (cercle, médiatrice).
- Calculer une distance à l'aide des affixes.
Les pièges à éviter
- Pour un quotient, multiplier haut et bas par le conjugué.
- Le module est toujours positif.
- Avec \(\Delta < 0\), les deux racines sont conjuguées.
- Un argument n'est défini qu'à \(2k\pi\) près.
Testez-vous en 3 minutes
\(\lvert 3+4i\rvert\) ? \(\overline{2-5i}\) ? \((1+i)^2\) ? Solutions de \(z^2+1=0\) ?
Réponses
\(5\) ; \(2+5i\) ; \(2i\) ; \(z = i\) ou \(z = -i\).