Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Soient \(z_1 = 2 + 3i\) et \(z_2 = 1 - 2i\).
- Calculer \(z_1 z_2\). (2 pts)
- Calculer \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous forme algébrique. (3 pts)
Correction
- \(z_1z_2 = 2 - 4i + 3i + 6 = 8 - i\).
- \(\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5} = \dfrac{2 + 4i + 3i - 6}{5} = \dfrac{-4 + 7i}{5}\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer le module et un argument de \(z = -1 + i\).
Correction
\(\lvert z\rvert = \sqrt2\) ; \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt2}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\).
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 2z + 5 = 0\).
Correction
\(\Delta = 4 - 20 = -16 = (4i)^2\) : \(z = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i\).
Exercice 4 (5 pts)
Déterminer et décrire l'ensemble des points \(M(z)\) tels que :
- \(\lvert z + 1\rvert = 2\) (3 pts)
- \(\lvert z - i\rvert = \lvert z + i\rvert\) (2 pts)
Correction
- Cercle de centre \((-1\,;0)\) et de rayon \(2\).
- Médiatrice de \([AB]\) avec \(A(0\,;1)\) et \(B(0\,;-1)\) : c'est l'axe des abscisses.