Série 2 — forme algébrique, module, argument et équations.
Exercice 1
Soient \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = 1 - i\). Calculer \(z_1 + z_2\), \(z_1z_2\) et \(\dfrac{z_1}{z_2}\).
Correction
\(z_1 + z_2 = 4 + i\) ; \(z_1z_2 = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 - i\). \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(3+2i)(1+i)}{2} = \dfrac{1 + 5i}{2}\).
Exercice 2
Calculer le module et un argument de \(z = 1 + i\sqrt3\).
Correction
\(\lvert z\rvert = \sqrt{1+3} = 2\) ; \(\cos\theta = \dfrac12\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\). Forme trigonométrique : \(z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 4z + 13 = 0\).
Correction
\(\Delta = 16 - 52 = -36 = (6i)^2\). \(z = \dfrac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\).
Exercice 4
Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\lvert z - 2i\rvert = 3\).
Correction
C'est le cercle de centre \(A(0\,;2)\) (d'affixe \(2i\)) et de rayon \(3\).
Exercice 5
Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\lvert z - 1\rvert = \lvert z + 3\rvert\).
Correction
\(M\) est équidistant de \(A(1\,;0)\) et \(B(-3\,;0)\) : c'est la médiatrice de \([AB]\), soit la droite d'équation \(x = -1\).
Exercice 6
Soit \(z = \dfrac{1+i}{1-i}\). Écrire \(z\) sous forme algébrique puis trigonométrique.
Correction
\(z = \dfrac{(1+i)^2}{2} = \dfrac{2i}{2} = i\). Module \(1\), argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Exercice 7
\(A\), \(B\), \(C\) ont pour affixes \(a = 1\), \(b = 3 + 2i\) et \(c = -1 + 2i\). Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle.
Correction
\(AB = \lvert b - a\rvert = \lvert 2+2i\rvert = 2\sqrt2\) ; \(AC = \lvert c - a\rvert = \lvert -2+2i\rvert = 2\sqrt2\). \(AB = AC\) : le triangle est isocèle en \(A\).