L'essentiel en une page
| Objet | Formule (repère orthonormé) |
|---|---|
| \(\vec u\cdot\vec v\) | \(xx' + yy' + zz'\) |
| Norme | \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) |
| Orthogonalité | \(\vec u\cdot\vec v = 0\) |
| Plan de normale \(\vec n(a\,;b\,;c)\) | \(a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0\) |
| Distance point-plan | \(\dfrac{\lvert ax_0+by_0+cz_0+d\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) |
| Sphère | \((x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2 = R^2\) |
Lecture d'une équation de plan : dans \(ax + by + cz + d = 0\), le vecteur \(\vec n(a\,;b\,;c)\) est normal au plan.
| Plan et sphère : comparer \(d\) et \(R\) | Section |
|---|---|
| \(d < R\) | cercle de rayon \(\sqrt{R^2-d^2}\) |
| \(d = R\) | un point (plan tangent) |
| \(d > R\) | aucune intersection |
Droite orthogonale à un plan : elle est dirigée par le vecteur normal du plan.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer un produit scalaire dans l'espace et tester l'orthogonalité.
- Déterminer l'équation d'un plan à partir d'un point et d'une normale.
- Calculer une distance point-plan.
- Déterminer centre et rayon d'une sphère en complétant les carrés.
- Étudier la position relative d'un plan et d'une sphère.
Les pièges à éviter
- Le vecteur normal se lit directement sur les coefficients.
- Ne pas oublier la valeur absolue dans la distance.
- Compléter les carrés pour les trois variables.
- Une droite orthogonale à un plan est dirigée par la normale, pas normale au plan.
Testez-vous en 3 minutes
Normale de \(2x - 3y + z - 1 = 0\) ? Distance de \(O\) à ce plan ? Rayon de \(x^2+y^2+z^2 = 16\) ? \(\vec u(1\,;1\,;1)\cdot\vec v(1\,;-2\,;1)\) ?
Réponses
\((2\,;-3\,;1)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{14}}\) ; \(4\) ; \(0\).