Série 2 — produit scalaire, plans, droites et sphères. Le repère est orthonormé.
Exercice 1
\(\vec u(1\,;2\,;-1)\) et \(\vec v(3\,;-1\,;1)\). Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) et conclure.
Correction
\(3 - 2 - 1 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 2
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \(A(1\,;0\,;2)\) et de vecteur normal \(\vec n(2\,;-1\,;3)\).
Correction
\(2(x-1) - (y-0) + 3(z-2) = 0\), soit \(2x - y + 3z - 8 = 0\).
Exercice 3
Calculer la distance du point \(A(1\,;2\,;3)\) au plan \((P) : x + 2y - 2z + 5 = 0\).
Correction
\(d = \dfrac{\lvert 1 + 4 - 6 + 5\rvert}{\sqrt{1+4+4}} = \dfrac{4}{3}\).
Exercice 4
Déterminer le centre et le rayon de la sphère d'équation \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0\).
Correction
\((x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = -5 + 1 + 4 + 9 = 9\) : centre \(\Omega(1\,;-2\,;3)\), rayon \(3\).
Exercice 5
Étudier la position relative du plan \((P) : 2x - y + 2z - 3 = 0\) et de la sphère de centre \(\Omega(1\,;1\,;1)\) et de rayon \(2\).
Correction
\(d(\Omega\,;(P)) = \dfrac{\lvert 2 - 1 + 2 - 3\rvert}{3} = 0\) : le plan passe par le centre, la section est un grand cercle de rayon \(2\).
Exercice 6
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(2\,;-1\,;0)\) et orthogonale au plan \(x - 2y + z = 0\).
Correction
Le vecteur normal \(\vec n(1\,;-2\,;1)\) dirige la droite : \(x = 2 + t\), \(y = -1 - 2t\), \(z = t\).
Exercice 7
\(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;2\,;0)\), \(C(0\,;0\,;3)\). Déterminer une équation du plan \((ABC)\).
Correction
Le plan a pour équation \(\dfrac x1 + \dfrac y2 + \dfrac z3 = 1\), soit \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\).