Durée : 1 heure. Barème sur 20. Le repère est orthonormé.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(1\,;2\,;-1)\) et \(B(3\,;0\,;3)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et sa norme. (3 pts)
- Déterminer le milieu de \([AB]\). (2 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(2\,;-2\,;4)\) et \(AB = \sqrt{4+4+16} = 2\sqrt6\).
- \(I(2\,;1\,;1)\).
Exercice 2 (5 pts)
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par \(A(0\,;1\,;2)\) et de vecteur normal \(\vec n(3\,;1\,;-2)\), puis vérifier si \(B(1\,;0\,;1)\) lui appartient.
Correction
\(3x + (y-1) - 2(z-2) = 0\), soit \(3x + y - 2z + 3 = 0\). Pour \(B\) : \(3 + 0 - 2 + 3 = 4 \ne 0\) : \(B\) n'appartient pas au plan.
Exercice 3 (5 pts)
Calculer la distance du point \(A(2\,;-1\,;1)\) au plan \((P) : 2x + y - 2z + 1 = 0\).
Correction
\(d = \dfrac{\lvert 4 - 1 - 2 + 1\rvert}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{2}{3}\).
Exercice 4 (5 pts)
Déterminer le centre et le rayon de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 4 = 0\).
Correction
\((x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 4 + 4 + 1 = 9\) : centre \(\Omega(2\,;-1\,;0)\), rayon \(3\).