Géométrie dans l'espace — Examen (1 h 30) — 2ème année Bac Sciences Physiques & SVT

Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Repère orthonormé direct.

Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(1 ; 2 ; -1)\) et de rayon \(3\), et le plan \((P) : 2x - y + 2z + 5 = 0\).

Écrire une équation cartésienne de \((S)\). (2 pts)
Calculer \(d(\Omega, (P))\) et montrer que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\). (4 pts)
Calculer le rayon de \((\Gamma)\). (3 pts)
Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\). (4 pts)
Déterminer le centre \(H\) de \((\Gamma)\). (4 pts)
Vérifier que \(A(1 ; 2 ; 2)\) appartient à \((S)\) et donner l'équation du plan tangent à \((S)\) en \(A\). (3 pts)

Correction

\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9\).
\(d = \frac{|2 - 2 - 2 + 5|}{3} = 1 < 3\).
\(r = \sqrt{9 - 1} = 2\sqrt2\).
\(x = 1 + 2t\), \(y = 2 - t\), \(z = -1 + 2t\).
\(2(1 + 2t) - (2 - t) + 2(-1 + 2t) + 5 = 0\Leftrightarrow9t + 3 = 0\), \(t = -\frac13\) : \(H\left(\frac13 ; \frac73 ; -\frac53\right)\).
\(0 + 0 + 9 = 9\) ✓. \(\vec{\Omega A}(0 ; 0 ; 3)\) est normal : \(3(z - 2) = 0\), soit \(z = 2\).