1. Produit scalaire (repère orthonormé)
\[\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz' \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \qquad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
2. Plans
Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a ; b ; c)\) a une équation \(ax + by + cz + d = 0\).
- Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Distance de \(A\) au plan \((P)\) : \(\frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).
3. Droites
Représentation paramétrique : \(x = x_A + \alpha t\), \(y = y_A + \beta t\), \(z = z_A + \gamma t\). Une droite dirigée par \(\vec{u}\) est perpendiculaire au plan \((P)\) si \(\vec{u}\) est colinéaire à \(\vec{n}\).
4. Produit vectoriel
\[\vec{u}\wedge\vec{v} = (yz' - zy' ; zx' - xz' ; xy' - yx')\]
- Orthogonal à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : il donne un vecteur normal au plan \((ABC)\) avec \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}\).
- Aire du triangle \(ABC\) : \(\frac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|\).
5. Sphère
\((S)\) de centre \(\Omega(a ; b ; c)\), rayon \(R\) : \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\). Avec \(d = d(\Omega, (P))\) : \(d > R\) pas d'intersection ; \(d = R\) plan tangent ; \(d < R\) intersection = cercle de rayon \(\sqrt{R^2 - d^2}\).