Exercice 1
Déterminer une équation du plan passant par \(A(1 ; 2 ; -1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2 ; -1 ; 3)\).
Correction
\(2(x - 1) - (y - 2) + 3(z + 1) = 0\Leftrightarrow2x - y + 3z + 3 = 0\).
Exercice 2
Soient \(A(1 ; 1 ; 0)\), \(B(0 ; 2 ; 1)\), \(C(1 ; 0 ; 2)\). Calculer \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}\) et l'aire du triangle \(ABC\).
Correction
\(\vec{AB}(-1 ; 1 ; 1)\), \(\vec{AC}(0 ; -1 ; 2)\) : \(\vec{AB}\wedge\vec{AC} = (1\times2 - 1\times(-1) ; 1\times0 - (-1)\times2 ; (-1)(-1) - 1\times0) = (3 ; 2 ; 1)\). Aire \(= \frac{\sqrt{14}}{2}\).
Exercice 3
Soit \((S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 7 = 0\). Déterminer son centre et son rayon.
Correction
\((x - 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 9\) : \(\Omega(1 ; 0 ; 1)\), \(R = 3\).
Exercice 4
Montrer que le plan \((P) : x + 2y + 2z - 12 = 0\) est tangent à la sphère de centre \(O\) et de rayon \(4\).
Correction
\(d(O, P) = \frac{12}{3} = 4 = R\).