L'essentiel en une page
| \(f(x)\) | Une primitive |
|---|---|
| \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\frac1x\) | \(\ln\lvert x\rvert\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{ax}\) | \(\frac{e^{ax}}{a}\) |
| \(\frac{1}{\sqrt x}\) | \(2\sqrt x\) |
Définition : \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F' = f\) sur \(I\). Deux primitives diffèrent d'une constante.
| Forme composée | Primitive |
|---|---|
| \(u'u^n\) | \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\frac{u'}{u}\) | \(\ln\lvert u\rvert\) |
| \(u'e^u\) | \(e^u\) |
| \(\frac{u'}{\sqrt u}\) | \(2\sqrt u\) |
Condition initiale : une seule donnée \(F(x_0) = y_0\) détermine la constante \(C\).
En économie : le coût total est la primitive du coût marginal, et la constante est le coût fixe ; de même, la recette est la primitive de la recette marginale, avec \(R(0) = 0\).
Ce que je dois savoir faire
- Donner toutes les primitives d'un polynôme.
- Reconnaître une forme \(\frac{u'}{u}\) ou \(u'e^u\).
- Déterminer la constante avec une condition.
- Reconstituer un coût total à partir du coût marginal.
- Vérifier une primitive en la dérivant.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier la constante \(+C\).
- \(\frac{e^{ax}}{a}\) : diviser par \(a\), ne pas multiplier.
- \(\ln\lvert x\rvert\) sur un intervalle ne contenant pas \(0\).
- La constante d'un coût total est le coût fixe, pas \(0\).
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Primitive de \(x^4\) ? De \(e^{3x}\) ? De \(\frac{2x}{x^2+5}\) ? Coût total si \(Cm = 4\) et coût fixe \(20\) ?
Réponses
\(\frac{x^5}{5}+C\) ; \(\frac{e^{3x}}{3}+C\) ; \(\ln\left(x^2+5\right)\) ; \(C(q) = 4q+20\).