Série 2 — primitives usuelles, formes composées et reconstitution d'un coût.
Exercice 1
Déterminer les primitives de \(f(x) = 3x^2-2x+1\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction
\(F(x) = x^3-x^2+x+C\), \(C\in\mathbb{R}\).
Exercice 2
Déterminer la primitive de \(f(x) = \dfrac1x\) sur \(]0;+\infty[\) qui vaut \(2\) en \(1\).
Correction
\(F(x) = \ln x+C\) ; \(F(1) = C = 2\), donc \(F(x) = \ln x+2\).
Exercice 3
Déterminer une primitive de \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction
On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x) = x^2+1>0\). Donc \(F(x) = \ln\left(x^2+1\right)\).
Exercice 4
Déterminer une primitive de \(f(x) = e^{2x}\) puis de \(g(x) = (x+1)^3\).
Correction
\(F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}\) car \(\left(\dfrac{e^{2x}}2\right)' = e^{2x}\). \(G(x) = \dfrac{(x+1)^4}{4}\).
Exercice 5
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = e^x+x\) telle que \(F(0) = 1\).
Correction
\(F(x) = e^x+\dfrac{x^2}{2}+C\) ; \(F(0) = 1+C = 1\) donne \(C = 0\). Donc \(F(x) = e^x+\dfrac{x^2}{2}\).
Exercice 6
Le coût marginal d'une entreprise est \(Cm(q) = 2q+10\) et le coût fixe est de \(100\). Déterminer le coût total \(C(q)\).
Correction
\(C\) est la primitive de \(Cm\) : \(C(q) = q^2+10q+K\). Le coût fixe est \(C(0) = K = 100\), donc \(C(q) = q^2+10q+100\).
Exercice 7
La recette marginale est \(Rm(q) = 60-2q\). Déterminer la recette totale \(R(q)\) sachant que \(R(0) = 0\), puis la quantité qui la maximise.
Correction
\(R(q) = 60q-q^2+K\) avec \(R(0) = K = 0\), donc \(R(q) = 60q-q^2\). \(R'(q) = Rm(q) = 60-2q\) s'annule en \(q = 30\) en changeant de signe : la recette est maximale pour \(q = 30\), et vaut \(900\).