Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Déterminer les primitives de chaque fonction.
- \(f(x) = 4x^3-6x\) (2 pts)
- \(g(x) = \dfrac{3}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) (3 pts)
Correction
- \(F(x) = x^4-3x^2+C\).
- \(G(x) = 3\ln x+C\).
Exercice 2 (5 pts)
Déterminer une primitive de \(f(x) = \dfrac{4x}{x^2+3}\) sur \(\mathbb{R}\), puis de \(g(x) = e^{-x}\).
Correction
\(f(x) = 2\times\dfrac{2x}{x^2+3}\) est de la forme \(2\dfrac{u'}{u}\) : \(F(x) = 2\ln\left(x^2+3\right)\). \(G(x) = -e^{-x}\).
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 3x^2+2x\) telle que \(F(1) = 5\).
Correction
\(F(x) = x^3+x^2+C\) ; \(F(1) = 2+C = 5\) donne \(C = 3\). Donc \(F(x) = x^3+x^2+3\).
Exercice 4 (5 pts)
Le coût marginal est \(Cm(q) = 3q^2-10q+20\) et le coût fixe vaut \(50\).
- Déterminer \(C(q)\). (3 pts)
- Calculer \(C(5)\). (2 pts)
Correction
- \(C(q) = q^3-5q^2+20q+50\) (la constante est le coût fixe).
- \(C(5) = 125-125+100+50 = 150\).