L'essentiel en une page
Définition. \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F' = f\) sur \(I\). Deux primitives diffèrent d'une constante.
| \(f(x)\) | Une primitive |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \ne -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac1{x^2}\) | \(-\dfrac1x\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt x}\) | \(2\sqrt x\) |
| \(\dfrac1x\) (\(x>0\)) | \(\ln x\) |
| \(\sin x\) / \(\cos x\) | \(-\cos x\) / \(\sin x\) |
| Forme composée | Une primitive |
| \(u'u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) (\(u>0\)) | \(\ln u\) |
| \(\dfrac{u'}{2\sqrt u}\) | \(\sqrt u\) |
| \(u'\cos u\) / \(u'\sin u\) | \(\sin u\) / \(-\cos u\) |
Condition initiale : une seule primitive vérifie \(F(x_0) = y_0\) ; on détermine la constante avec cette donnée.
En physique : la vitesse est une primitive de l'accélération ; la position, une primitive de la vitesse.
Ce que je dois savoir faire
- Reconnaître une forme composée et appliquer la bonne primitive.
- Ajuster le coefficient multiplicatif (penser à \(u'\)).
- Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale.
- Traiter un problème de cinématique.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier la constante \(C\).
- Pour \((ax+b)^n\), diviser par \(a(n+1)\).
- \(\ln u\) n'est primitive de \(\frac{u'}{u}\) que si \(u > 0\).
- Vérifier en dérivant le résultat obtenu.
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Primitive de \(x^3\) ? De \((2x+1)^3\) ? De \(\sin(5x)\) ? De \(\frac{2x}{x^2+3}\) ?
Réponses
\(\frac{x^4}{4}\) ; \(\frac{(2x+1)^4}{8}\) ; \(-\frac{\cos 5x}{5}\) ; \(\ln(x^2+3)\).