Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Déterminer une primitive de :
- \(f(x) = 4x^3 - 6x + 1\) (2 pts)
- \(g(x) = (3x - 2)^4\) (2 pts)
- \(h(x) = \dfrac{3x^2}{x^3+5}\) sur un intervalle où \(x^3 + 5 > 0\) (2 pts)
Correction
- \(F(x) = x^4 - 3x^2 + x\).
- \(G(x) = \dfrac{(3x-2)^5}{15}\).
- \(H(x) = \ln(x^3+5)\).
Exercice 2 (5 pts)
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x + 3\) telle que \(F(2) = 1\).
Correction
\(F(x) = x^2 + 3x + C\) ; \(F(2) = 4 + 6 + C = 1\) donne \(C = -9\), donc \(F(x) = x^2 + 3x - 9\).
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer une primitive de :
- \(f(x) = \sin(2x) + \cos x\) (3 pts)
- \(g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\) (2 pts)
Correction
- \(F(x) = -\dfrac{\cos(2x)}{2} + \sin x\).
- \(G(x) = \sqrt{2x+1}\).
Exercice 4 (4 pts)
L'accélération d'un mobile est \(a(t) = 4\) m/s², sa vitesse initiale \(v(0) = 3\) m/s et sa position initiale \(x(0) = 0\). Déterminer \(v(t)\) puis \(x(t)\).
Correction
\(v(t) = 4t + 3\) ; puis \(x(t) = 2t^2 + 3t\).