Série 2 — primitives usuelles, formes composées et conditions initiales.
Exercice 1
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.
- \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\)
- \(g(x) = \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\)
- \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt x}\) sur \(]0\,;+\infty[\)
Correction
- \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\).
- \(G(x) = -\dfrac1x\).
- \(H(x) = 2\sqrt x\).
Exercice 2
Déterminer une primitive de \(f(x) = (2x+1)^5\).
Correction
\(F(x) = \dfrac{(2x+1)^6}{12}\) (forme \(u'u^n\) avec \(u' = 2\)).
Exercice 3
Déterminer une primitive de \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\) puis de \(g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
Correction
\(F(x) = \ln(x^2+1)\) (forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u > 0\)). \(G(x) = \sqrt{x^2+1}\) (forme \(\dfrac{u'}{2\sqrt u}\)).
Exercice 4
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 3x^2 - 2x\) telle que \(F(1) = 5\).
Correction
\(F(x) = x^3 - x^2 + C\) ; \(F(1) = 1 - 1 + C = 5\) donne \(C = 5\), donc \(F(x) = x^3 - x^2 + 5\).
Exercice 5
Déterminer une primitive de \(f(x) = \sin(3x)\) et de \(g(x) = \cos(2x - 1)\).
Correction
\(F(x) = -\dfrac{\cos(3x)}{3}\) ; \(G(x) = \dfrac{\sin(2x-1)}{2}\).
Exercice 6
Déterminer une primitive de \(f(x) = \dfrac{1}{(3x+2)^2}\).
Correction
\(f(x) = \dfrac13\times\dfrac{3}{(3x+2)^2}\), donc \(F(x) = -\dfrac{1}{3(3x+2)}\).
Exercice 7
Un mobile a pour vitesse \(v(t) = 6t - 4\) (en m/s) et se trouve en \(x = 5\) m à l'instant \(t = 0\). Déterminer sa position \(x(t)\).
Correction
\(x(t)\) est la primitive de \(v\) vérifiant \(x(0) = 5\) : \(x(t) = 3t^2 - 4t + 5\).